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大学生4人に1人、「平均」の意味理解せず 日本数学会 中央値や最頻値との誤解めだつ

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平均の意味を理解できない人が四人に一人だそうです。
http://www.nikkei.com/news/category/article/g=96958A9C93819695E0E6E2E0E68DE0E6E2E0E0E2E3E0E2E2E2E2E2E2;at=ALL(日経新聞)

引っ掛けもあるのかなあと問題を見てみる。
1-1 ある中学校の三年生の生徒100 人の身長を測り,その平均を計算すると163.5cm になりました。この結果から確実に正しいと言えることには○を,そうでないものには×を,左側の空欄に記入してください。

(1) 身長が163.5 cm よりも高い生徒と低い生徒は,それぞれ50 人ずついる。
(2) 100 人の生徒全員の身長をたすと,163.5 cm × 100 = 16350 cm になる。
(3) 身長を10 cm ごとに「130 cm 以上で140 cm 未満の生徒」「140 cm 以上で150 cm 未満の生徒」・・・というように区分けすると、「160 cm 以上で170 cm 未満の生徒」が最も多い。

(1)(2)は迷う人はいないと思う。簡単に(1)は×(2)は○とわかる。(3)は正規分布という概念が邪魔すると思わず○と答えてしまうかもしれない。ある中学校の生徒の身長も分布が正規分布という保証はないのだ。

1-2 次の報告から確実に正しいと言えることには○を,そうでないものには×を,左側の空欄に記入してください。

公園に子供たちが集まっています。男の子も女の子もいます。よく観察すると,帽子をかぶっていない子供は,みんな女の子です。そして,スニーカーを履いている男の子は一人もいません。

(1) 男の子はみんな帽子をかぶっている。
(2) 帽子をかぶっている女の子はいない。
(3) 帽子をかぶっていて,しかもスニーカーを履いている子供は、一人もいない。

図を描いてみるとわかる。”帽子をかぶっていない子供は,みんな女の子です”で男の子で帽子をかぶっていない子はいないことがわかる。もう一つ,女の子は帽子をかぶっていることかぶっていない子がいる可能性があることもわかる。"スニーカーを履いている男の子は一人もいません”からスニーカーをはいている男の子はいないが女の子はいる可能性がある。つまり帽子をかぶって,しかもスニーカーをはいている子供がいる可能性がある。

2-1 偶数と奇数をたすと,答えはどうなるでしょうか。次の選択肢のうち正しいものに○を記入し,そうなる理由を下の空欄で説明してください。
(a) いつも必ず偶数になる。
(b) いつも必ず奇数になる。
(c) 奇数になることも偶数になることもある。

これの選択を間違う人は殆どいないと思う。問題は理由の説明だ。
任意の偶数と任意の奇数をどう表記するかがポイントだ。
偶数を2m,奇数を2n+1で表せればほぼ正解にたどり着けると思う。(m,nは0または自然数)間違っても偶数を2n,奇数を2n+1と表してはならない。これでは隣り合った偶数と奇数になってしまう。(2と3,12と13など)

2m+2n+1=2(m+n)+1 
と表されるので常に奇数となる。

2-2 2 次関数y = -x~2+6x-8のグラフは,どのような放物線でしょうか。重要な特徴を,文章で3つ答えてください。

重要かどうかはわからないが取り合えず挙げてみる。
・-x^2から上に凸の放物線である
・xに0を代入するとyは-8
y軸と交わるのはy=-8の時
・因数分解すると
(-x+2)(x-4)
x軸と交わるのはx=2とx=4の時
・微分すると
y'=-2x+6
頂点のx座標は3なので式のxに3を代入すると
y=1
頂点の座標は(3,1)
他に何かあるでしょうか。

3 右の図の線分を,定規とコンパスを使って正確に3等分したいと思います。どのような作図をすればよいでしょうか。作図の手順を,箇条書きにして分かりやすく説明してください。
なお,説明に図を使う場合は,定規やコンパスを使わずに描いてもかまいません。

コンパスで元の直線(直線ABとする)と片方の端が同じ別の直線(直線AC)上に等間隔で4つ点A,D,E,F(A-D,D-E,E-Fは等間隔)をとり,FとBを結びその直線(直線FB)と平行に点Dを通り線ABと交わる点Gをとり,直線FBと平行に点Eを通り線ABと交わる点Hをとる。直線ABは点Gと点Hで三等分される。
(コンパスと定規で平行線を描くのは少々めんどうだなあ。三角定規二つ使えば簡単だけど)

図を描くと良くわかるが,言葉で説明するのは難しい。線分の三等分は簡単だが,角度の三等分は確か無理だったように記憶している。

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